\documentclass{TEMA}

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\begin{document}
\title{Termodinâmica Estendida para Materiais Viscoelásticos com Condu\c{c}\~ao de Calor}

\author{A. Vignatti%
\thanks{aldovignatti@ceunes.ufes.br}\,,
Departamento de Engenharia e Ci{\^e}ncias Exatas da UFES,\\
29933-480 S{\~a}o Mateus, ES, Brasil.
\\      \\
I-Shih Liu%
\thanks{liu@im.ufrj.br}\,,
Instituto de Matem\'{a}tica da UFRJ,\\
21945-970 Rio de Janeiro, RJ, Brasil.}
\date{}

\maketitle \runningheads{A. Vignatti}{Termodin\^{a}mica estendida para materiais viscoel{\'a}sticos com condu\c{c}\~ao de calor}
\begin{abstract}
{\bf Resumo.}
    Termodin\^amica estendida \'e uma teoria fenomenol\'ogica com o
    objetivo principal de determinar os campos de deforma\c{c}\~ao,
temperatura, tens\~ao e fluxo de calor. As equa\c{c}\~oes da
termodin\^amica estendida consistem das leis usuais de
conserva\c{c}\~ao de massa, momento e energia e um conjunto de
equa\c{c}\~oes de balan\c{c}o adicionais, e tem sido aplicadas para a
formula\c{c}\~ao de termodin\^amica estendida de fluidos \cite{G.M.
Kremer2},\cite{Muller} bem como s\'olidos viscoel\'asticos. Aqui
ser\'a formulada uma teoria similar para materiais viscoel{\'a}sticos
com condu\c{c}\~ao de calor.
\end{abstract}


    \newsec{Introdu\c{c}\~{a}o}
            A termodin\^amica estendida para gases ideais
        monat\^omicos, como uma teoria de $13$ momentos, i.e.,
        densidade, velocidade, tensor tens\~ao e fluxo de calor, foi
        primeiramente formulada por Liu e M\"uller
        \cite{Liu & Muller}. A teoria proposta neste
        artigo trata tamb\'em os s{\'o}lidos viscoel{\'a}sticos. Por\'em, em vez
        de identificar a energia com o tra\c{c}o do momento de segunda
        ordem (tensor tens\~{a}o), a energia \'e considerada como um
        campo independente. Assim, al\'em de $13$ equa\c{c}\~oes de balan\c{c}o
        usuais, \'e aumentada a equa\c{c}\~{a}o da energia total, e
        conseq\"{u}entemente, a teoria consiste num sistema
        de $14$ equa\c{c}\~{o}es de balan\c{c}o.

        N{\~a}o muito diferente da teoria proposta em \cite{G.M. Kremer2},
        a an\'{a}lise do presente trabalho baseia-se no
        procedimento proposto em \cite{Liu}, o que facilita a explora\c{c}\~{a}o do
        princ\'{\i}pio de entropia para deduzir as equa\c{c}\~{o}es constitutivas.

        Aqui \'{e} usada a nota\c{c}\~ao usual da soma sobre
        \'{\i}ndices repetidos. Par\^enteses indicam a
        simetriza\c{c}\~ao $A_{(ij)} = \frac{1}{2}(A_{ij}+A_{ji})$ e o s\'{\i}mbolo
        $\langle \rangle $ indica a simetriza\c{c}\~ao sem
        tra\c{c}o
        $A_{\langle ij \rangle} = A_{(ij)}-\frac{1}{3}A_{ss}\delta_{ij}.$

    \section{Equa\c{c}\~oes de balan\c{c}o}
    \setcounter{equation}{0}
        As leis de conserva\c{c}\~ao de massa, momento e energia
    em um sistema de coordenadas espa\c{c}iais $(x_i,t)$
    relativo a um referencial inercial, podem ser escritas
    como
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\vspace{2mm}

\displaystyle\frac{\partial\varrho}{\partial t}
+ \frac{\partial\varrho v_k}{\partial x_k}= 0, \\

\vspace{2mm}

\displaystyle\frac{\partial\varrho v_i}{\partial t}
+\frac{\partial}{\partial x_k}(\varrho v_i v_k -T_{ik})=0,\\

\displaystyle

\frac{\partial\varrho e}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial
x_k}(\varrho ev_k -v_iT_{ik}+q_k)=0,

\label{eq:leis de conservacao}
\end{array}
\end{equation}
onde $\varrho $ \'{e} a densidade de massa, $v_i$ a velocidade,
$T_{ik}$ o tensor tens\~{a}o de Cauchy, $q_k$ o fluxo de energia,
$ e=(v^{2}/2+\varepsilon)$ \'{e} a energia total espec\'{\i}fica e
$\varepsilon$ a energia interna espec\'{\i}fica.

    A fim de obter um modelo matem\'{a}tico hiperb\'{o}lico para
materiais viscoel\'{a}sticos com condu\c{c}\~{a}o de calor são
acrescentadas as equa\c{c}{\~o}es de balan\c{c}o
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\vspace{2mm} \displaystyle

\frac{\partial u_{ij}}{\partial t}
+\frac{\partial}{\partial x_k}(u_{ij}v_k +G_{ijk}) = P_{ij}, \\

\displaystyle

\frac{\partial u_{iij}}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial
x_k}(u_{iij}v_k +G_{iijk}) = P_{iij},

\label{eq:conducao de calor}
\end{array}
\end{equation}
    para os momentos $u_{ij}, u_{iij}$, seus fluxos
    $G_{ijk}, G_{iijk}$ e produ\c{c}\~oes $P_{ij}$ e $P_{iij}$.
    Estas equa\c{c}\~oes s\~ao acrescentadas para ser construído
    uma teoria
    estendida de $14$ momentos para materiais viscoel{\'a}sticos com
    condu\c{c}\~ao de calor, por exemplo s{\'o}lidos. Ao contr\'ario
    das teorias ordin\'arias a inclus\~ao das equa\c{c}\~oes
    (\ref{eq:conducao de calor}) para $u_{ij}$ e $u_{iij}$
    s\~ao particulares da teoria estendida.
    Elas n\~ao s\~ao leis
    de conserva\c{c}\~ao devido \`a presen\c{c}a dos termos de
    produ\c{c}\~ao $P_{ij}$ e $P_{iij}$ no membro direito.

    As equa\c{c}\~oes (\ref{eq:leis de conservacao}) e
    (\ref{eq:conducao de calor}) podem ser escritas na forma compacta,
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}

    \displaystyle\frac{\partial {\bf U}}{\partial t}
    +\frac{\partial}{\partial x_k}({\bf U}v_k + {\bfl G}_k) = {\bfl P},
    \label{eq:compacta das leis}

    \end{array}
    \end{equation}
    com
    $$\begin{array}{lll}
    {\bf U} &=(\varrho,\varrho v_i, \varrho e, u_{ij},u_{iij}),&\\
    {\bfl G}_k &= (0,-T_{ik},-v_i T_{ik} + q_k,G_{ijk},G_{iijk}),&\\
    {\bfl P} &= (0,0,0,P_{ij},P_{iij}).&
    \end{array}$$
    As partes independentes da velocidade, conhecidas como partes internas dos momentos $u_{ij}$ e $u_{iij}$ serão denotadas por $\varrho_{ij}$ e $\varrho_{iij}$, dos fluxos $G_{ijk}$ e
    $G_{iijk}$ por $p_{ijk}$ e $p_{iijk}$ das produ\c{c}\~oes
    $P_{ij}$ e $P_{iij}$ por $\pi_{ij}$ e $\pi_{iij}$,
    respectivamente. Ent\~ao
    $$\begin{array}{rlll}
    {\bf U}|_{v=0}=& {\tilde {\bfl F}}
    &=(\varrho,0, \varrho\varepsilon, \varrho_{ij}, \varrho_{iij}),&\\
    {\bfl G}_k|_{v=0}=&{\tilde {\bfl G}}_k &= (0,p_{ik},q_k,p_{ijk},p_{iijk}),&\\
    {\bfl P}|_{v=0}=&{\tilde {\bfl P}} &= (0,0,0,\pi_{ij},\pi_{iij}).&
    \end{array}$$
    O requerimento da
    invari\^{a}ncia Galileana do sistema de equa\c{c}\~{o}es de
    balan\c{c}o (\ref{eq:compacta das leis}) implica a seguinte
    depend\^{e}ncia expl\'{\i}cita da velocidade $v_i$
    (para mais detalhes, ver \cite{Muller}),
    \begin{equation}
    \begin{array}{rl}

    u_{ij} & =  \varrho\varrho_{ij} + \varrho v_{(i}v_{j)} ,\\

    G_{ijk} & =  p_{ijk} + 2v_{(i}p_{j)k} ,\\

    P_{ij} & =  \varrho\pi_{ij} + v_{(i}\pi_{j)} + \pi_0v_iv_j,\\

    u_{iij} & =  \varrho\varrho_{iij}
                + 3\varrho\varrho_{(ii}v_{j)} + \varrho v_iv_iv_j,\\

    G_{iijk} & =  p_{iijk} + 3v_{(i}v_ip_{j)k} + 3v_{(i}p_{ij)k} ,\\

    P_{iij} & =  \varrho\pi_{iij} + 3\varrho v_{(i}\pi_{ij)}
                + 3v_{(i}v_{i}\pi_{j)}
                + \pi_0v_iv_iv_j.

    \label{eq:dpdev}
    \end{array}
    \end{equation}
    Motivado pela teoria cin\'etica de gases, os termos
    $u_{ij},G_{ijk},P_{ij},u_{iij},G_{iijk}$, $P_{iij}$ serão admitidos
    sim\'etricos nos \'{\i}ndices $i,j$. Isto significa que a
    quantidade n\~ao muda mediante a troca de posi\c{c}\~oes
    entre os \'{\i}ndices $i$ e $j$.
    Será admitido ainda que $\pi_{0}=0,\pi_{i}=0$ e que as quantidades
    $\varrho_{ij}$, $p_{ij} = -T_{ij}$,
    $p_{ijk}$, $\pi_{ij}$, $p_{iik}$, $p_{iijk}$, $\pi_{iij}$ assim
    como $\varrho$, $\varepsilon$, $T_{ik}$, $q_k$ s\~ao
    quantidades objetivas.

    O sistema (\ref{eq:compacta das leis}) \'e um sistema de
    equa\c{c}\~oes de balan\c{c}o para materiais
viscoel\'asticos, fluidos bem como s\'olidos. Para s\'olidos, \'e
mais conveniente rescrever este sistema na forma Lagrangiana.

    Sejam $(X_{\alpha},t)$ um sistema de coordenadas materiais na
configura\c{c}\~ao de refer\^encia do corpo material e $F_{i\alpha}$ o
gradiente de deforma\c{c}\~ao $\partial x_i/\partial X_{\alpha}$.
Considere as quantidades:

\begin{equation}
\begin{array}{c}
\hat{{\bf U}} = \displaystyle\frac{\varrho_{\kappa}}{\varrho}{\bf
U}, \hspace{4mm} \hat{{\bf P}} =
\displaystyle\frac{\varrho_{\kappa}}{\varrho}{\bf P}, \hspace{4mm}
\hat{{\bf G}}_{\alpha} =
\displaystyle\frac{\varrho_{\kappa}}{\varrho}{\bf
G}_kF^{-1}_{\alpha k}, \label{eq:Uponto}

\end{array}
\end{equation}
onde $\varrho_{\kappa}$ \'e a densidade de massa na configura\c{c}\~ao
de refer\^encia. Usando o balan\c{c}o de massa que \'e equivalente \`a
$\varrho_{\kappa} = \varrho detF$, tem-se as identidades:
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\displaystyle
 \dot{\hat{{\bf U}}} =
\frac{\varrho_{\kappa}}{\varrho}\left(\frac{\partial{\bf
U}}{\partial t} + \frac{\partial{\bf U}v_k}{\partial x_k}\right),

\hspace{4mm}

\displaystyle\frac{\partial\hat{\bf G}_{\alpha}}{\partial
X_{\alpha}} =
 \frac{\varrho_{\kappa}}{\varrho}\frac{\partial{\bf G}_k}{\partial x_k},
\label{eq:P}

\end{array}
\end{equation}
onde o ponto indica a derivada
material em rela\c{c}\~ao ao tempo. Com isto tem-se,
$${\bf P} =
\frac{\partial {\bf U}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial
x_k}({\bf U}v_k + {\bf G}_k) =
\frac{\varrho}{\varrho_{\kappa}}\left(\dot{\hat{{\bf U}}} +
\frac{\partial\hat{\bf G}_{\alpha}}{\partial X_{\alpha}}\right) .
$$
Portanto o sistema (\ref{eq:compacta das leis}) pode ser escrito
como
\begin{equation}
\begin{array}{c}

\dot{\hat{{\bf U}}} + \displaystyle\frac{\partial\hat{\bf
G}_{\alpha}}{\partial X_{\alpha}}= \hat{\bf P} , \label{eq:2.7}

\end{array}
\end{equation}
no sistema de coordenada material ou explicitamente como
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
\vspace{1mm}

\dot{\varrho_{\kappa}} =& 0,\\
\vspace{1mm} \displaystyle

\varrho_{\kappa}\dot{v}_i
+\frac{\partial \hat{p}_{i\alpha}}{\partial X_{\alpha}} =& 0, \\

\vspace{1mm} \displaystyle

\varrho_{\kappa}\dot{e}
+ \frac{\partial \hat{G}_{\alpha}}{\partial X_{\alpha}} =& 0, \\

\vspace{1mm}\displaystyle

\dot{\hat{u}}_{ij} + \frac{\partial \hat{G}_{ij\alpha}}{\partial
X_{\alpha}} =&
 \varrho_{\kappa}\pi_{ij}, \\

\displaystyle

 \dot{\hat{u}}_{iij} + \frac{\partial
\hat{G}_{iij\alpha}}{\partial X_{\alpha}} =&
\varrho_{\kappa}\pi_{iij} + 3\varrho_{\kappa}v_{(i}\pi_{ij)} ,

\label{eq:sist.coord.mat}

\end{array}
\end{equation}
onde
\begin{equation}
\begin{array}{rl}
\vspace{1mm}

\hat{u}_{ij} & = \varrho_{\kappa}\varrho_{ij}+\varrho_{\kappa}v_iv_j  ,\\

\vspace{1mm}

\hat{u}_{iij}  & = \varrho_{\kappa}\varrho_{iij}
            +3\varrho_{\kappa}\varrho_{(ii}v_{j)}
            +\varrho_{\kappa}v_iv_iv_j        ,\\

\vspace{1mm}

\hat{G}_{\alpha} & = \hat{q}_{\alpha} + v_i\hat{p}_{i\alpha} , \\

\vspace{1mm}

\hat{G}_{ij\alpha} & = \hat{p}_{ij\alpha} + v_i\hat{p}_{j\alpha} +
v_j\hat{p}_{i\alpha} ,\\

\hat{G}_{iijk} & = \hat{p}_{iijk} +3v_{(i}v_i\hat{p}_{j)k}
                +3v_{(i}\hat{p}_{ij)k},

\label{eq:chapeusinternos}
\end{array}
\end{equation}
    O sistema (\ref{eq:sist.coord.mat}) \'e equivalente ao sistema de
equa\c{c}\~oes de balan\c{c}o consistindo de (\ref{eq:leis de
conservacao}) e (\ref{eq:conducao de calor}). O tensor
$\hat{T}_{i\alpha}=-\hat{p}_{i\alpha}$ \'e o tensor tens\~ao
Piola-Kirchoff e $\hat{q}_{\alpha}$ \'e algumas vezes chamado por
fluxo de energia material.

\section{Processo Termodin\^amico}
\setcounter{equation}{0}
    Para materiais viscoel\'asticos, um estado pode ser caracterizado
pelos seguintes campos termodin\^amicos:
\begin{equation}
\begin{array}{l}

F_{i\alpha} \hspace{3mm} \mbox{gradiente de deforma\c{c}\~ao,}\\

v_i \hspace{3mm} \mbox{velocidade,}\\

\varepsilon \hspace{3mm} \mbox{energia interna espec\'{\i}fica,}\\

T_{ij} \hspace{3mm} \mbox{tensor tens\~ao,}\\

q_j \hspace{3mm} \mbox{fluxo de calor.}

\label{eq:campos basicos}

\end{array}
\end{equation}
    Obviamente, o gradiente de deforma\c{c}\~ao está sendo considerado no
lugar da densidade, como um campo termodin\^amico para que os
s\'olidos possam ser inclu\'{\i}dos na teoria.

    O sistema (\ref{eq:sist.coord.mat}) deve ser completado por rela\c{c}\~oes
constitutivas que em termodin\^amicas estendidas s\~ao assumidas
serem locais e instant\^aneas,
\begin{equation}
\begin{array}{l}
{\mathcal C} = \tilde {\mathcal
C}(F_{i\alpha},v_i,\varepsilon,T_{ij},q_j).

\label{eq:locais e instant}
\end{array}
\end{equation}
    Aqui ${\mathcal C}$ \'e um candidato para as quantidades
    constitutivas $\{ \varrho_{ij}, \varrho_{iij},
\hat{p}_{ij\alpha}, \hat{p}_{iij\alpha}, \pi_{ij},$ $\pi_{iij}\}$.

    Todo campo $(F_{i\alpha},v_i,\varepsilon,T_{ij},q_j)$ que satisfa\c{c}a as
equa\c{c}\~oes de balan\c{c}o (\ref{eq:sist.coord.mat}) junto com as
rela\c{c}\~oes  da forma (\ref{eq:locais e instant}) ser\'a chamado
{\it processo termodin\^amico} em viscoelasticidade.

    Equa\c{c}\~oes constitutivas n\~ao s\~ao inteiramente arbitr\'arias.
Elas est\~ao restritas por um princ\'{\i}pio f\'{\i}sico universal
e, em particular o princ\'{\i}pio de entropia e objetividade
material. Mais a frente será imposta uma condi\c{c}\~ao de
hiperbolicidade.

    \section{Princ\'{\i}pio de entropia}
    \setcounter{equation}{0}
        O princ\'{\i}pio de entropia estabelece que para todo processo
termodin\^amico a inequa\c{c}\~{a}o de entropia deve ser v\'alida
\begin{equation}
\begin{array}{c}

\varrho_{\kappa}\dot{\eta} +
\displaystyle\frac{\partial\hat{\Phi}_{\alpha}}{\partial
X_{\alpha}}=s\geq 0 \label{eq:desig entropia}

\end{array}
\end{equation}

      Esta tamb\'em est\'a escrita no sistema de coordenadas materiais e
similarmente é introduzido
$\hat{\Phi}_{\alpha}=(\varrho_{\kappa}/\varrho)\Phi_{\kappa}F^{-1}_{\alpha
k} $, onde $\Phi_{\kappa}$ \'e o fluxo de entropia. Ambas
densidade de entropia espec\'{\i}fica $\eta$ e
$\hat{\Phi}_{\alpha}$ s\~ao tamb\'em dadas pelas rela\c{c}\~oes
constitutivas da forma (\ref{eq:locais e instant}). Al\'em disso,
a fun\c{c}\~ao $\eta$ \'e admitida ser c\^oncava nas vari\'aveis
campos b\'asicos e tanto $\eta$ quanto $\Phi =
(\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3)$ s\~ao admitidas ser objetivas. A
produ\c{c}\~ao de entropia $s$ \'e uma quantidade n\~ao negativa.

    Observe  que os campos $F_{s\alpha}$ e $v_s$ n\~ao s\~ao
inteiramente independentes. De acordo com suas defini\c{c}\~oes, eles
est\~ao relacionados pela seguinte identidade
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\dot{F}_{s\alpha} - \displaystyle\frac{\partial v_s}{\partial
X_{\alpha}} =0.

\label{eq:gradiente deformacao}
\end{array}
\end{equation}
Observe ainda que a primeira equa\c{c}\~ao de
(\ref{eq:sist.coord.mat}), $\dot{\varrho}_{\kappa}=0$ meramente
afirma que ${\varrho}_{\kappa}$ \'e um campo independente do
tempo. Juntando as outras equa\c{c}\~oes de (\ref{eq:sist.coord.mat})
com (\ref{eq:gradiente deformacao}) obtén-se um sistema que
pode ser escrito na forma
\[A_{ab}Y_b + B_a =0\]

Isto e a objetividade de $\eta$ e $\hat{\Phi}_{\alpha}$ implicam
na exist{\^e}ncia de multiplicadores de Lagrange $\lambda_{i\beta},
\Lambda , \Lambda_{ij}, \lambda_j, \Lambda_i$ tais que
\begin{equation}
\begin{array}{rl}

d\eta=&
                \lambda_{i\beta}dF_{i\beta}
                +\Lambda d\varepsilon
                +\Lambda_{rl}d\varrho_{rl}
                +\lambda_{l}d\varrho_{rrl},\\

            0=    & \Lambda_{i}+3\lambda_{(i}\varrho_{rr)},\\

d \hat{\Phi}_{\alpha} =&

     \Lambda d\hat{q}_{\alpha}
    +\Lambda_i d\hat{p}_{i\alpha}
    +\Lambda_{ij}d\hat{p}_{ij\alpha}
    + \lambda_jd\hat{p}_{iij\alpha} ,\\

  0=  & -\varrho_{\kappa}\lambda_{i\alpha}
    + \Lambda \hat{p}_{i\alpha}
    + 2\Lambda_{ij}\hat{p}_{j\alpha}
    + 3\lambda_{(j}\hat{p}_{ij)\alpha}  ,\\

s =& \varrho_{\kappa}\left(\Lambda_{rl}\pi_{rl}
                            +\lambda_{l}\pi_{rrl}
                            \right)     \geq 0 .

\label{eq:dh,dphik e s}

\end{array}
\end{equation}


\section{Equil\'{\i}brio}
\setcounter{equation}{0}
    O {\it equil\'{\i}brio} \'e definido como um processo termodin\^amico
    sem produ\c{c}\~ao de entropia. Da rela\c{c}\~ao $(\ref{eq:dh,dphik e s})_5$,
    tem-se que a produ\c{c}\~ao de entropia atinge seu valor m\'{\i}nimo
    no equil\'{\i}brio, isto \'e, quando
    $\pi_{ij} = 0$ e $\pi_{iij} = 0$ para todo $i,j=1,2,3.$

    Assim como $s$, as fun\c{c}\~oes $\pi_{ij},$ $\pi_{iij}$, a priori,
    dependem das vari\'aveis
    $\lambda_{i\beta}$, $\Lambda$, $\Lambda_{ij}$, $\lambda_j$ e $\Lambda_i$.
    Ser\'a assumido que $\pi_{ij}$ \'e invert\'{\i}vel na vari\'avel
    $\Lambda_{ij}$
    e que $\pi_{iij}$ \'e invert\'ivel na vari\'avel $\lambda_j$ para
    trocar $\Lambda_{ij},$ $\lambda_j$  por $\pi_{ij},$ $\pi_{iij}$,
    respectivamente, como vari\'aveis em $s$. Ent\~ao a
    condi\c{c}\~ao necess\'aria para o m\'{\i}nimo da produ\c{c}\~ao
    de entropia implica que
    \begin{equation}
    \begin{array}{lcr}
    \vspace{2mm}

    0 = \displaystyle\frac{\partial s}{\partial\pi_{ij}}|_E
        = \varrho_{\kappa}\Lambda_{ij}|_E ,&&
    0 = \displaystyle\frac{\partial s}{\partial\pi_{iij}}|_E
      = \varrho_{\kappa}\lambda_j|_E .

    \label{eq:equilibrio}
    \end{array}
    \end{equation}
    Tanto $|_E$ quanto o \'{\i}ndice $o$ denotar\~{a}o a avalia\c{c}\~{a}o no equil\'{\i}brio.
    De $(\ref{eq:dh,dphik e s})_2$ tem-se $\Lambda_k|_E = 0$.

    Avalie a rela\c{c}\~ao $(\ref{eq:dh,dphik e s})_1$ no equil\'{\i}brio e
    use $(\ref{eq:dh,dphik e s})_4$ para ter
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}
    d\eta |_E = \lambda_{i\beta}|_EdF_{i\beta}+ \Lambda |_E d\varepsilon

    =  \displaystyle
    \Lambda |_E \left(d\varepsilon
    + \frac{1}{\varrho_{\kappa}}\hat{p}^o_{i\beta}dF_{i\beta}\right) .
    \label{eq:dh|E}
    \end{array}
    \end{equation}
    Comparando com a rela\c{c}\~{a}o de Gibbs
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}
    d\eta_o  = \displaystyle
            \frac{1}{\theta} \left(d\varepsilon
    + \frac{1}{\varrho_{\kappa}}\hat{p}^o_{i\beta}dF_{i\beta}\right),
    \label{eq:Gibbs}
    \end{array}
    \end{equation}
    para materiais el\'{a}sticos, decorrente da teoria ordin\'aria \cite{Liu},
    tem-se as identifica\c{c}\~{o}es
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}

    \Lambda |_E = \displaystyle\frac{1}{\theta}

    \label{eq:identificacao}
    \end{array}
    \end{equation}
    onde $\theta$ \'{e} a temperatuta. Por $(\ref{eq:dh,dphik e s})_4$
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}

    \lambda_{i\beta}|_E = \displaystyle
    \frac{1}{\theta\varrho_{\kappa}}\hat{p}^o_{i\beta}.

    \label{eq:identificacao}
    \end{array}
    \end{equation}

    Cada um dos termos, definidos abaixo,
    \begin{equation}
    \begin{array}{rlrl}
\vspace{1mm}

    \Lambda_{\varepsilon} =&  \displaystyle \Lambda
                            -\displaystyle\frac{1}{\theta},&
    \Le =&  \displaystyle \lambda_{i\beta}
    -\frac{1}{\theta\varrho_{\kappa}}\hat{p}^o_{i\beta},\\


    \hat{S}_{ij} =&  \hat{p}_{ij}^o - \hat{p}_{ij},&
    \varrho_{\varepsilon} = & \varrho_{ss} - \varrho_{ss}|_E,

    \label{eq:variaveis1}
    \end{array}
    \end{equation}
    se anula no equil\'{\i}brio e $\Lambda_{\varepsilon}, \Le$
    herdar\~ao o nome de multiplicadores de Lagrange.

        \'E definida a fun\c{c}\~ao
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}

    {\hat\eta} = \Lambda_{\langle ij \rangle}\varrho_{\langle ij \rangle}
    + \lambda_j\varrho_{iij} - \eta ,
    \label{eq:eta chapeu}

    \end{array}
    \end{equation}
    e a vari\'{a}vel $\varepsilon$ {\'e} considerada fun\c{c}\~{a}o de
    $F_{i\beta}$ e $\theta$ para, mediante $(\ref{eq:dh,dphik e s})_1$, obter
    \begin{equation}
    \begin{array}{rl}
    \vspace{2mm}

    d{\hat\eta}
    = & \displaystyle\left(\Le
+ \Lambda_{\varepsilon}\frac{\partial\varepsilon}{\partial
F_{i\beta}} + \frac{\partial \eta_0}{\partial
F_{i\beta}}+\frac{1}{3}\Lambda_{rr}\frac{\partial\varrho_{ss}|_E}{\partial
F_{i\beta}}\right)dF_{i\beta}  \\

 & \displaystyle
 + \left(\Lambda_{\varepsilon}
\frac{\partial\varepsilon}{\partial \theta} + \frac{\partial
\eta_0}{\partial\theta}+\frac{1}{3}\Lambda_{rr}\frac{\partial\varrho_{ss}|_E}{\partial
\theta}\right)d\theta
+
\frac{1}{3}\Lambda_{rr}d\varrho_{\varepsilon}
    + \varrho_{\langle ij \rangle}d\Lambda_{\langle ij \rangle}
    + \varrho_{iij}d\lambda_j.
    \label{eq:deta1}

    \end{array}
    \end{equation}
    A objetividade da fun\c{c}\~ao $\eta$ implica na objetividade da fun\c{c}\~{a}o
    ${\hat\eta}$. Neste caso,
    em que n\~ao ocorre a depend\^encia do tempo, a objetividade
    material equivale \`a isotropia. Da\'{\i} ${\hat\eta}$ \'e uma
    fun\c{c}\~ao isotr\'opica de cada uma das
    vari\'aveis
    $F_{i\beta},$ $\theta ,$ $\varrho_{\varepsilon},$ $\Lambda_{ij},$ $\lambda_{j}$ e
    $$
    \eta_0 = {\hat\eta}_0,
    \hspace{2mm}
    \displaystyle
    \frac{\partial {\hat\eta}}{\partial F_{i\beta}}{\Big |}_E
    =\frac{\partial {\eta}_0}{\partial F_{i\beta}} ,
\hspace{2mm}
    \frac{\partial {\hat\eta}}{\partial\theta}{\Big |}_E =
    \frac{\partial {\eta}_0}{\partial\theta}.$$
    Chama-se $\check{\Phi}_{k}$ a conjugada  de
    $\hat{\Phi}_{k}$ e define-se por
\begin{equation}
\begin{array}{rl}

 \check{\Phi}_{k} =&

     \Lambda \hat{q}_{k}
    +\Lambda_i \hat{p}_{ik}
    +\Lambda_{ij}\hat{p}_{ijk}
    + \lambda_j\hat{p}_{iijk} - \hat{\Phi}_{k} ,

\label{eq:conj de Phik}

\end{array}
\end{equation}
para termos
\begin{equation}
\begin{array}{rl}

d \check{\Phi}_{k} =&\displaystyle
    -\frac{1}{\theta^2}\hat{q}_{k}d\theta
    +\hat{q}_{k} d\Lambda_{\varepsilon}
    +\hat{p}_{ik} d\Lambda_i
    + \hat{p}_{\langle ij \rangle k}d\Lambda_{\langle ij \rangle}
    + \frac{1}{3}\hat{p}_{iik}d\Lambda_{jj}
    +\hat{p}_{iijk} d\lambda_j .

\label{eq:d conj Phik}

\end{array}
\end{equation}
Ent\~{a}o $\check{\Phi}_{k} = \check{\Phi}_{k}(F_{i\beta},\theta
,\Lambda_{\varepsilon},\Lambda_i, \Lambda_{\langle
ij\rangle},\Lambda_{jj},\lambda_j)$ com
$\displaystyle\frac{\partial \check{\Phi}_{k}}{\partial
F_{i\beta}}=0$.

    Ser\'{a} assumido que
    $\varrho_{\varepsilon},$ $\Lambda_{\varepsilon},$ $\Lambda_i,$
    $\Lambda_{\langle ij \rangle},$ $\Lambda_{jj}$ e $\lambda_j$
    s\~ao quantidades pequenas de mesma ordem. Ent\~ao fica f\'acil
    escrever as representa\c{c}\~oes das fun\c{c}\~{o}es isotr\'opicas ${\hat\eta}$
    e ${\check\Phi} = ({\check\Phi}_1,{\check\Phi}_2,{\check\Phi}_3)$
    at\'e segunda ordem (veja \cite{Liu}),
    \begin{equation}
    \begin{array}{rl}

     {\hat\eta}  = & {\eta}_0 + k_0\varrho_{\varepsilon} + h_1\lambda_{j}\lambda_{j}
            + h_2\Lambda_{\langle ij \rangle}\Lambda_{\langle ij \rangle} +
            h_3\varrho_{\varepsilon}^2
            +  o(3), \\

    {\check\Phi}_k  = & \alpha\lambda_k + \beta\Lambda_k
                    + a_1\Lambda_{\varepsilon}\lambda_k
            + b_1\Lambda_{\varepsilon}\Lambda_k
            + a_2\Lambda_{\langle ki \rangle}\lambda_i
            + b_2\Lambda_{\langle ki \rangle}\Lambda_i\\
           & + a_3\Lambda_{ii}\lambda_k
            + b_3\Lambda_{ii}\Lambda_k
            + o(3),
    \label{eq:representacao}

    \end{array}
    \end{equation}
    onde os coeficientes ${\eta}_0, k_0, h_n, \alpha , \beta , a_n , b_n ,$
    s\~ao fun\c{c}\~oes de $(F_{i\beta},\theta)$. A nota\c{c}\~ao
    $o(n)$ representa termos de ordem maior ou igual a $n$ nas
    quantidades $\Lambda_{\varepsilon},$
    $\Lambda_i,$ $\Lambda_{\langle ij \rangle},$ $\Lambda_{jj}$ e
    $\lambda_j$.

    \section{Equa\c{c}\~oes constitutivas de primeira ordem}
    \setcounter{equation}{0}
    Comparando (\ref{eq:deta1}) com
    $(\ref{eq:representacao})_1$ obt\'{e}n-se as express\~oes
    \begin{equation}
    \begin{array}{rl}
\vspace{2mm} \displaystyle
            \varrho_{iij} = & 2h_1\lambda_j + o(2),\\
\vspace{2mm}

\displaystyle
    \frac{1}{3}\Lambda_{rr} = & k_0 + 2h_3\varrho_{\varepsilon} + o(2) ,\\
\vspace{2mm}
 \varrho_{\langle ij \rangle} = & 2h_2\Lambda_{\langle ij \rangle}+o(2),\\

\vspace{2mm} \displaystyle
    \Lambda_{\varepsilon}\frac{\partial\varepsilon}{\partial\theta}
    +\frac{1}{3}\Lambda_{rr}\frac{\partial\varrho_{ss}|_E}{\partial
\theta}= & \displaystyle
    \frac{\partial k_0}{\partial\theta}\varrho_{\varepsilon} + o(2),\\

    \displaystyle
    \Le
    + \Lambda_{\varepsilon}\frac{\partial\varepsilon}{\partial F_{i\beta}}
    +\frac{1}{3}\Lambda_{rr}\frac{\partial\varrho_{ss}|_E}{\partial
F_{i\beta}}= &
    \displaystyle
    \frac{\partial k_0}{\partial F_{i\beta}}\varrho_{\varepsilon} + o(2) ,

    \label{eq:multiplicadores de Lagrange}
    \end{array}
    \end{equation}
    para os multiplicadores de Lagrange. A equa\c{c}\~ao
    $(\ref{eq:multiplicadores de Lagrange})_2$ avaliada no equil\'{\i}brio revela que
    $     k_0 = 0,$
    e como conseq\"u\^encia
    \begin{equation}
    \begin{array}{rl}
    \vspace{2mm}

    \Lambda_{\varepsilon} &= -2c_{\theta} h_3\varrho_{\varepsilon}+o(2), \\

    \Le & = \displaystyle
    \left( \frac{\partial\varepsilon}{\partial F_{i\beta}}c_{\theta}
    - \frac{\partial\varrho_{ss}|_E}{\partial F_{i\beta}} \right)
    2h_3\varrho_{\varepsilon}+ o(2),

    \label{eq:Lambdaepsilon e Lambdaro}
    \end{array}
    \end{equation}
    onde, $    c_{\theta}  = \displaystyle \left(
                \frac{\partial\varepsilon}{\partial\theta} \right)^{-1}
            \frac{\partial\varrho_{ss}|_E}{\partial\theta}. $
    Usando $(\ref{eq:dh,dphik e s})_2$ encontra-se
    \begin{equation}
    \begin{array}{rl}

    \Lambda_i & =  \displaystyle
    -\frac{5}{6}\frac{\varrho_{ss}|_E }{h_1}\varrho_{jji} +o(2).

    \label{eq:Lambdai linha}
    \end{array}
    \end{equation}

    Comparando (\ref{eq:d conj Phik}) com
    $(\ref{eq:representacao})_2$ obt\'{e}n-se as express\~oes
    \begin{equation}
    \begin{array}{rl}
    \vspace{2mm}

    \displaystyle
    -\frac{1}{\theta^2}\hat{q}_k = &  \displaystyle
            \frac{\partial \alpha}{\partial\theta}\lambda_k +
            \frac{\partial \beta }{\partial\theta}\Lambda_k + o(2),\\
\vspace{2mm}

    \hat{q}_k     = &  a_1\lambda_k + b_1\Lambda_k + o(2) ,  \\

\vspace{2mm}

    \hat{p}_{ik}  = & \beta \delta_{ik} + b_1\Lambda_{\varepsilon}\delta_{ik}
        + b_2\Lambda_{\langle ki \rangle }
        + b_3\Lambda_{jj}\delta_{ik} + o(2)  , \\
\vspace{2mm}

    \hat{p}_{\langle ij \rangle k} = & a_2\delta_{k \langle i}\lambda_{j \rangle }
                            + b_2\delta_{k \langle i}\Lambda_{j \rangle }
                                          + o(2) ,\\
\vspace{2mm}

    \displaystyle
    \frac{1}{3}\hat{p}_{iik} = & a_3\lambda_k + b_3\Lambda_k + o(2) ,\\
\vspace{2mm}

    \hat{p}_{iijk} = & \left(\alpha
                + a_1\Lambda_{\varepsilon}\right)\delta_{kj}
                + a_2\Lambda_{\langle kj \rangle}
                + a_3\Lambda_{ii}\delta_{kj} + o(2) ,\\

    0  = & \displaystyle
    \frac{\partial{\check\Phi}_k}{\partial F_{i\beta}}
    = \displaystyle
      \frac{\partial\alpha}{\partial F_{i\beta}}\lambda_k
    + \frac{\partial \beta}{\partial F_{i\beta}}\Lambda_k + o(2),

    \label{eq:fluxos}
    \end{array}
    \end{equation}
    para os fluxos. J\'a \'e sabido, $(\ref{eq:variaveis1})_1$
    e $(\ref{eq:equilibrio})_1$, que os multiplicadores de Lagrange
    $\Lambda_{\varepsilon}, \Lambda_{ij}$ se anulam no equil\'{\i}brio.
    Logo
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}
\displaystyle \hat{p}_{ik}^o  = \beta\delta_{ik}
\hspace{5mm}\mbox{e}\hspace{5mm}
                              \beta  = \frac{1}{3}\hat{p}_{ss}^o.

    \label{eq:beta=p0}
    \end{array}
    \end{equation}

    As duas primeiras equa\c{c}\~oes de (\ref{eq:fluxos}), implicam
    \[\begin{array}{lcr}
\vspace{2mm} \displaystyle
    -\frac{1}{\theta^2}\hat{q}_k  =
\displaystyle
    \left(\frac{\partial \alpha}{\partial\theta}
        -\frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E
         \frac{\partial\beta}{\partial\theta}\right)\lambda_k+o(2)&

\mbox{e}&

    \hat{q}_k = \displaystyle
         \left(a_1 - \frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E b_1\right)\lambda_k+o(2).

    \end{array}\]
    Substituindo uma na outra, tem-se
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}

    0 = \displaystyle
    \frac{\partial \alpha }{\partial F_{i\beta}}
    -\frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E
    \frac{\partial\beta}{\partial F_{i\beta}}.

    \label{eq:alpha}

    \end{array}
    \end{equation}

    O tra\c{c}o e a parte simetrizada sem tra\c{c}o da equa\c{c}\~ao
    $(\ref{eq:dh,dphik e s})_4$, fornecer\~ao rela\c{c}\~oes de interesse.
    Ao calcular a simetriza\c{c}\~ao sem tra\c{c}o de cada um dos
    membros de $(\ref{eq:dh,dphik e s})_4$, ser\'a obtida a equa\c{c}\~ao
    \begin{equation}
    0  =  -\varrho_{\kappa}\lambda_{\langle ik \rangle}
        +\Lambda \hat{p}_{\langle ik \rangle }
        + 2\Lambda_{j \langle i}\hat{p}_{k \rangle j}
        + 2\hat{p}_{j \langle ik \rangle }\lambda_j
        + \hat{p}_{jj \langle k}\lambda_{i \rangle } .
    \label{eq:sem traco de tal}
    \end{equation}
    A parte linear do tra\c{c}o de $(\ref{eq:dh,dphik e s})_4$
    reduz-se a
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}
\displaystyle
    \varrho_{\kappa} + (c_{\theta} - 2)\beta
    = \frac{1}{\theta}(3b_3 -c_{\theta}b_1).

    \label{eq:traco1}
    \end{array}
    \end{equation}

    Em (\ref{eq:variaveis1}) foi definido o tensor ${\hat S}_{ij}$, mais
    conhecido como {\it tensor viscoso}. A partir deste tensor, \'e
    definida a {\it press\~ao din\^amica}
$           p_d = \displaystyle -\frac{1}{3}{\hat S}_{kk}
                   .$
    \'E evidente que a press\~ao din\^amica herda do tensor viscoso a
    propriedade de se anular no equil\'{\i}brio. Por
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}

    {\hat p}_{ij} = (\beta + p_d)\delta_{ij} - {\hat S}_{\langle ij \rangle },

    \label{eq:pressao dinamica1}

    \end{array}
    \end{equation}
    e as rela\c{c}\~oes $(\ref{eq:fluxos})_3$, $(\ref{eq:multiplicadores de Lagrange})_{2,3}$,
    $(\ref{eq:Lambdaepsilon e Lambdaro})_1$ tem-se que
    \begin{equation}
    \begin{array}{lr}
\vspace{1mm}

     p_d = \displaystyle (3b_3 - c_{\theta} b_1)2h_3\varrho_{\varepsilon}
                + o(2) ,&

    \hat{S}_{\langle ij \rangle } = \displaystyle
                            -\frac{\theta}{2h_2}(\varrho_{\kappa}-2\beta)
                            \varrho_{\langle ij \rangle } + o(2).

    \label{eq:pressao dinamica3}

    \end{array}
    \end{equation}

    H\'a ainda, mais uma equa\c{c}\~ao a ser obtida usando as
    representa\c{c}\~oes (\ref{eq:representacao}) de $\eta$ e
    ${\check \Phi}_k$, somente at\'e segunda
    ordem. A saber, a equa\c{c}\~ao c escrita
    mediante termos de segunda ordem que, pela independ\^encia linear dos tensores
    $\varrho_{\langle ki\rangle}$ e $\delta_{ki}$, implica
    \begin{equation}
    \begin{array}{c}
\vspace{2mm}

\displaystyle
    \frac{1}{h_2}
    \left(\frac{\partial a_2}{\partial F_{i\beta}}
    - \frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E
    \frac{\partial b_2}{\partial F_{i\beta}}
    \right)
    - 4\frac{\partial \beta}{\partial F_{i\beta}} = 0 , \\

\displaystyle
    \frac{5}{3}\frac{\partial \beta}{\partial F_{i\beta}}
    +  2c_{\theta} h_3\left(\frac{\partial a_1}{\partial F_{i\beta}}
     - \frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E
     \frac{\partial b_1}{\partial F_{i\beta}}\right)

    - 6h_3\left(\frac{\partial a_3}{\partial F_{i\beta}}
    - \frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E
      \frac{\partial b_3}{\partial F_{i\beta}}
    \right) = 0 .

    \label{eq:ordem 2}
    \end{array}
    \end{equation}

    Em resumo, as equa\c{c}\~oes constitutivas para os fluxos s\~ao
    \begin{equation}
    \begin{array}{rl}
\vspace{2mm}

    \hat{q}_k  = & \displaystyle \frac{A_1}{2h_1}\varrho_{iik} + o(2),\\
\vspace{2mm}

    \hat{p}_{ik}  = & \displaystyle  (\beta + p_d) \delta_{ik}
                - \hat{S}_{\langle ik \rangle } ,\\
\vspace{2mm}

    \hat{p}_{ijk}  = & \displaystyle
            \frac{A_2}{2h_1}\varrho_{nn \langle i}\delta_{j \rangle k}
            + \frac{A_3}{2h_1}\varrho_{nnk}\delta_{ij}
            + o(2),\\

    \hat{p}_{iijk}  = & \displaystyle \alpha\delta_{kj}
        + (3a_3 - c_{\theta} a_1)2h_3\varrho_{\varepsilon}\delta_{kj}
                + \frac{a_2}{2h_2}\varrho_{\langle kj \rangle }
        +o(2) ,

    \label{eq:equacoes dos fluxos}

    \end{array}
    \end{equation}
    com
    \begin{equation}
    \begin{array}{rlrl}
\vspace{2mm}

    A_i = & \displaystyle
        a_i - \frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E b_i, &

    A_1 = & \displaystyle
             -\theta^2\left(\frac{\partial \alpha}{\partial\theta}
             -\frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E
              \frac{\partial\beta}{\partial\theta}\right),\\
\vspace{2mm}

    0  = & \displaystyle \frac{\partial \alpha }{\partial F_{i\beta}}
        -\frac{5}{3}\varrho_{ss}|_E
         \frac{\partial\beta}{\partial F_{i\beta}}, &

    p_d = &\displaystyle (3b_3 - c_{\theta} b_1)2h_3\varrho_{\varepsilon}
                + o(2) ,\\
\vspace{2mm}
c_{\theta}  = &\displaystyle \left(
                \frac{\partial\varepsilon}{\partial\theta} \right)^{-1}
            \frac{\partial\varrho_{ss}|_E}{\partial\theta}
                            ,&

            \hat{S}_{\langle ij \rangle } = &\displaystyle
                            -\frac{\theta}{2h_2}(\varrho_{\kappa}-2\beta)
                            \varrho_{\langle ij \rangle } + o(2),\\

    \beta = &\displaystyle\frac{1}{3}\hat{p}_{ss}^o, &
    b_2 = &\left(\varrho_{\kappa} -2\beta\right)\theta .

    \label{eq:coeficientes dos fluxos}
    \end{array}
    \end{equation}

    Esse trabalho, feito para materiais viscoelásticos, é uma
    ampliação do trabalho feito em \cite{Liu & Vignatti}. Pelo fato dos
    resultados obtidos aqui estarem de acordo com os obtidos em \cite{Liu &
    Vignatti}, ficamos satisfeitos com os resultados. Aqui, a originalidade é, no mínimo, a mesma que em \cite{Liu &
    Vignatti}, ou seja, com um menor número de variáveis, foram obtidos os resultados em (\ref{eq:coeficientes dos
    fluxos}).


    \begin{thebibliography}{99}

\bibitem{G.M. Kremer2} Kremer, G. M.:
Extended thermodynamics of molecular ideal gases, {\it Continuum
Mech. Thermodyn.}, 1, 3-20 (1989).

\bibitem{Liu2} Liu, I-Shih: Method of Lagrange multipliers for
exploitation of the entropy principle, {\it Arch. Rational Mech.
Anal.}, 46, 131-148 (1972).

\bibitem{Liu} Liu, I-Shih: ``Continuum Mechanics",
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York (2002).

\bibitem{Liu & Kremer} Liu, I-Shih; Kremer, G. M.:
Hyperbolic system of field equations for viscous fluids, {\it Mat.
Aplic. Comp.}, 9, 123-135 (1990).

\bibitem{Liu & Muller} Liu, I-Shih; M\"uller, I.:
Extended thermodynamics of classical and degenerate gases, {\it
Arch. Rational Mech. Anal.}, 83, 285-332 (1983).

\bibitem{Muller} M\"uller, I.; Ruggeri, T.:
``Rational Extended Thermodynamics", Second Edition,
Springer-Verlag New York (1998).

\bibitem{Liu & Vignatti} Vignatti, Aldo.; Liu, I-Shih:
Termodinâmica estendida de fluidos viscosos com condução de calor,
{\it TEMA, SBMAC}, numero 02, 381-390 (2006).

\end{thebibliography}

\end{document}


            {\bf Abstract.}
Extended thermodynamics is a phenomenological theory with the main
objective of determining the field of deformation, temperature,
stress and heat flux. The governing equations of extended
thermodynamics consist of the usual conservation laws of mass,
momentum and energy and a set of additional equations of balance,
and has been applied to the formulation of extended thermodynamics
of fluids \cite{G.M. Kremer2},\cite{Muller} as well as viscoelastic
solids. Here we shall formulate a similar theory for viscous fluid,
with heat con