Números de Stirling do Primeiro Tipo e as Relações de Girard

Abstract

O presente artigo trata-se do polinômio de Stirling do primeiro tipo, que é um caso particular do estudo de polinômios em várias indeterminadas sobre o anel dos inteiros e existem relações entre os coeficientes e as respectivas raízes de uma dada equação algébrica. A ideia consiste na expansão de uma classe de polinômios nas indeterminadas x, x_1, x_2], ..., x_n \in \mathbb{Z}, definidos por  p_n(x) = \prod_{j=1}^{n}$, fixado um inteiro n positivo. A ideia é mais particular ainda, pois provém das relações de Girard do estudo de polinômios homogêneos e simétricos que consiste em estudar polinômios em \mathbb{A}[x]$, cujos coeficientes estão no anel \mathbb{A} = \mathbb{Z}[x_1, x_2, ... , x_n] e além disso as raízes inteiras particulares nas relações de Girard, em questão, são x_1 = 0, x_2 = −1, ..., x_n = −(n − 1) gerando interessantes identidades algébricas cuja natureza combinatória é evidente e o coeficiente das potências de x em p_n(x), nesse caso, pode ser resposta de diversos problemas de contagem modelado por meio dessa função geradora, mais especificamente, a sequência associada a p_n(x) geram os números de Stirling do primeiro tipo.