Sistemas do Tipo Difusão-Reação e Preservação de Pontos Singulares
DOI:
https://doi.org/10.5540/tcam.2021.022.02.00241Palavras-chave:
Difusão-Reação, Gradient Vector Flow, Singularidades, Wavelets de HaarResumo
Motivados por aplicações recentes em computação gráfica, este trabalho apresenta um estudo teórico e computacional de sistemas de difusão-reação baseados no Gradient Vector Flow (GVF), com foco no comportamento do GVF em relação às singularidades do campo inicial. O estudo teórico parte de uma análise local, independente de condições de fronteira. Em seguida, supõe-se condição de fronteira no infinito e usa-se análise de Fourier para estabelecer condições suficientes para preservação do ponto singular. Finalmente, supõe-se um domínio compacto, com geometria retangular, e analisa-se a preservação de um ponto singular em relação à condição de fronteira usando um método de solução de equações diferenciais parciais (EDPs) baseado em wavelets de Haar. Desenvolvemos também uma implementação de um método direto para a equação estacionária do GVF baseado em diferenças finitas (DF) para comparar com a solução tradicional do Euler explícito, no que diz respeito a singularidade. É discutida a influência da vorticidade no problema de interesse usando a função de linhas de corrente e equação de Helmholtz. Nos experimentos computacionais, consideramos duas condições de fronteira, dois tipos de singularidades e os três métodos numéricos (Euler explícito, diferenças finitas para a equação estacionária, e wavelets) para verificar os resultados teóricos obtidos.
Referências
G. Hariharan, Wavelet Solutions for Reaction-Diffusion Problems in Science and Engineering. Springer, 2019.
C. Xu and J. L. Prince, “Snakes, shapes, and gradient vector flow,” IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 3, pp. 359-369, 1998.
S. Judice and G. Giraldi, “Fluid animation using sketching, diffusion-reaction and lattice boltzmann models,” IEEE Latin America Transactions, vol. 18, no. 03, pp. 514-521, 2020.
S. F. Judice and G. Giraldi, “Sketching fluid flows - combining sketch-based techniques and gradient vector flow for LBM initialization,” in GRAPP 2012 - International Conference on Computer Graphics Theory and Applications, 2012.
S. F. Judice, J. G. Mayworm, P. Azevedo, and G. Giraldi, “Perspectives for sketching fluids using sketch-based techniques and gradient vector flow for 3D LBM initialization,” in Computer Vision, Imaging and Computer Graphics. Theory and Application, pp. 127–141, Springer Berlin Heidelberg, 2013.
J. Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, Gráfica Editora Hamburgo Ltda., São Paulo, 1979.
V. Girault and P. A. Raviart, Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer-Verlag, 1986.
G. S. Weiss and G. G. Zhang, “Existence of a degenerate singularity in the high activation energy limit of a reaction-diffusion equation,” Communications in Partial Differential Equations, vol. 35, pp. 185-199, 2009.
U. Lepik, “Solving PDEs with the aid of two-dimensional haar wavelets,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 61, no. 7, pp. 1873-1879, 2011.
C. Xu and J. L. Prince, “Global optimality of gradient vector flow,” in Proc. of 34th Annual Conference on Information Sciences and Systems, Princeton University, 2000.
C. Chui, An Introduction to Wavelets. New York Academic Press, 1992.
U. Lepik, “Numerical solution of evolution equations by the haar wavelet method,” Applied Mathematics and Computation, vol. 185, no. 1, pp. 695-704, 2007.
D. Boukerroui, “Efficient numerical schemes for gradient vector flow,” in ICIP, 2009.
I. Aziz, A. Al-fhaid, and A. Shah, “A numerical assessment of parabolic partial differential equations using Haar and Legendre wavelets,” Applied Mathematical Modelling, vol. 37, pp. 9455–9481, 04 2013.
J. D. Hunter, “Matplotlib: A 2d graphics environment,” Computing in Science & Engineering, vol. 9, no. 3, pp. 90–95, 2007.
Downloads
Publicado
Como Citar
Edição
Seção
Licença
Política para Periódicos de Acesso Livre
Autores que publicam nesta revista concordam com os seguintes termos:
- Autores mantém os direitos autorais e concedem à revista o direito de primeira publicação, com o trabalho simultaneamente licenciado sob a Licença Creative Commons Attribution que permite o compartilhamento do trabalho com reconhecimento da autoria e publicação inicial nesta revista.
- Autores têm autorização para assumir contratos adicionais separadamente, para distribuição não-exclusiva da versão do trabalho publicada nesta revista (ex.: publicar em repositório institucional ou como capítulo de livro), com reconhecimento de autoria e publicação inicial nesta revista.
- Autores têm permissão e são estimulados a publicar e distribuir seu trabalho online (ex.: em repositórios institucionais ou na sua página pessoal) a qualquer ponto antes ou durante o processo editorial, já que isso pode gerar alterações produtivas, bem como aumentar o impacto e a citação do trabalho publicado (Veja O Efeito do Acesso Livre).
- Esta é uma revista de acesso aberto, o que significa que todo o conteúdo é livremente disponível gratuitamente para o usuário ou sua instituição. Os usuários estão autorizados a ler, baixar, copiar, distribuir, imprimir, pesquisar ou vincular os textos completos dos artigos, ou usá-los para qualquer outro propósito legal, sem pedir permissão prévia do editor ou do autor. Isso está de acordo com a definição de acesso aberto do BOAI.
Todo o conteúdo do periódico está licenciado sob uma Licença Creative Commons do tipo atribuição BY.
