Sistemas do Tipo Difusão-Reação e Preservação de Pontos Singulares
DOI:
https://doi.org/10.5540/tcam.2021.022.02.00241Palavras-chave:
Difusão-Reação, Gradient Vector Flow, Singularidades, Wavelets de HaarResumo
Motivados por aplicações recentes em computação gráfica, este trabalho apresenta um estudo teórico e computacional de sistemas de difusão-reação baseados no Gradient Vector Flow (GVF), com foco no comportamento do GVF em relação às singularidades do campo inicial. O estudo teórico parte de uma análise local, independente de condições de fronteira. Em seguida, supõe-se condição de fronteira no infinito e usa-se análise de Fourier para estabelecer condições suficientes para preservação do ponto singular. Finalmente, supõe-se um domínio compacto, com geometria retangular, e analisa-se a preservação de um ponto singular em relação à condição de fronteira usando um método de solução de equações diferenciais parciais (EDPs) baseado em wavelets de Haar. Desenvolvemos também uma implementação de um método direto para a equação estacionária do GVF baseado em diferenças finitas (DF) para comparar com a solução tradicional do Euler explícito, no que diz respeito a singularidade. É discutida a influência da vorticidade no problema de interesse usando a função de linhas de corrente e equação de Helmholtz. Nos experimentos computacionais, consideramos duas condições de fronteira, dois tipos de singularidades e os três métodos numéricos (Euler explícito, diferenças finitas para a equação estacionária, e wavelets) para verificar os resultados teóricos obtidos.
Referências
G. Hariharan, Wavelet Solutions for Reaction-Diffusion Problems in Science and Engineering. Springer, 2019.
C. Xu and J. L. Prince, “Snakes, shapes, and gradient vector flow,” IEEE Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 3, pp. 359-369, 1998.
S. Judice and G. Giraldi, “Fluid animation using sketching, diffusion-reaction and lattice boltzmann models,” IEEE Latin America Transactions, vol. 18, no. 03, pp. 514-521, 2020.
S. F. Judice and G. Giraldi, “Sketching fluid flows - combining sketch-based techniques and gradient vector flow for LBM initialization,” in GRAPP 2012 - International Conference on Computer Graphics Theory and Applications, 2012.
S. F. Judice, J. G. Mayworm, P. Azevedo, and G. Giraldi, “Perspectives for sketching fluids using sketch-based techniques and gradient vector flow for 3D LBM initialization,” in Computer Vision, Imaging and Computer Graphics. Theory and Application, pp. 127–141, Springer Berlin Heidelberg, 2013.
J. Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, Gráfica Editora Hamburgo Ltda., São Paulo, 1979.
V. Girault and P. A. Raviart, Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer-Verlag, 1986.
G. S. Weiss and G. G. Zhang, “Existence of a degenerate singularity in the high activation energy limit of a reaction-diffusion equation,” Communications in Partial Differential Equations, vol. 35, pp. 185-199, 2009.
U. Lepik, “Solving PDEs with the aid of two-dimensional haar wavelets,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 61, no. 7, pp. 1873-1879, 2011.
C. Xu and J. L. Prince, “Global optimality of gradient vector flow,” in Proc. of 34th Annual Conference on Information Sciences and Systems, Princeton University, 2000.
C. Chui, An Introduction to Wavelets. New York Academic Press, 1992.
U. Lepik, “Numerical solution of evolution equations by the haar wavelet method,” Applied Mathematics and Computation, vol. 185, no. 1, pp. 695-704, 2007.
D. Boukerroui, “Efficient numerical schemes for gradient vector flow,” in ICIP, 2009.
I. Aziz, A. Al-fhaid, and A. Shah, “A numerical assessment of parabolic partial differential equations using Haar and Legendre wavelets,” Applied Mathematical Modelling, vol. 37, pp. 9455–9481, 04 2013.
J. D. Hunter, “Matplotlib: A 2d graphics environment,” Computing in Science & Engineering, vol. 9, no. 3, pp. 90–95, 2007.
Downloads
Publicado
Como Citar
Edição
Seção
Licença
Direitos Autorais
Autores de artigos publicados no periódico Trends in Computational and Applied Mathematics mantêm os direitos autorais de seus trabalhos. O periódico utiliza a Atribuição Creative Commons (CC-BY) nos artigos publicados. Os autores concedem ao periódico o direito de primeira publicação.
Propriedade Intelectual e Termos de uso
O conteúdo dos artigos é de responsabilidade exclusiva dos autores. O periódico utiliza a Atribuição Creative Commons (CC-BY) nos artigos publicados. Esta licença permite que os artigos publicados sejam reutilizados sem permissão para qualquer finalidade, desde que o trabalho original seja corretamente citado.
O periódico encoraja os Autores a autoarquivar seus manuscritos aceitos, publicando-os em blogs pessoais, repositórios institucionais e mídias sociais acadêmicas, bem como postando-os em suas mídias sociais pessoais, desde que seja incluída a citação completa à versão do website da revista.
