Reduced-Order Model for an Impacting Beam using the Karhunen-Loµeve Expansion
DOI:
https://doi.org/10.5540/tema.2002.03.02.0217Resumo
The Karhunen-Loµeve expansion (KLE), also known in the literature as the proper orthogonal decomposition, is a powerful tool for the model reduction of structural systems. Although the method has been used for quite some time in turbulence studies to uncover spatial coherent structures in °ow fields, only recently has it been applied to structural dynamics problems. The KL method is a primarily statistical one where the system dynamics is assumed to be a second-order stochastic process. It consists in obtaining a set of orthogonal eigenfunctions where the dynamics is to be projected. Practically, one constructs a spatial autocorrelation tensor and then performs its spectral decomposition. The resulting eigenfunctions will provide the required proper orthogonal modes (POMs) or empirical eigenmodes and the correspondent empirical eigenvalues (or proper orthogonal values, POVs) represent the mean energy contained in that projection. Finally, one uses a number of the computed modes in Galerkin's method in order to obtain a reduced dimension system (this is sometimes called the KLG method). Although this method can also be applied to linear systems, its main application stems from nonlinear ones. In this present work, such a system is studied, namely a linear clamped beam impacting a °exible barrier. The KLE will be used to look into the dynamics of the system and to generate a reduced-order model (ROM).Referências
[1] M.F.A. Azeez and A.F. Vakakis, Proper orthogonal decomposition (POD) of a class of vibroimpact oscillations, J. Sound Vib., 240, No. 5 (2001), 859{889.
K.S. Breuer and L. Sirovich, The use of the Karhunen-Loµeve procedure for the calculation of linear eigenfunctions, J. Comput. Phys., 96 (1991), 277{296.
J.P. Cusumano and B.-Y. Bai, Period-infinity periodic motions, chaos, and spatial coherence in a 10 degree of freedom impact oscillator, Chaos, Solit. Frac., 3, No. 5 (1993), 515{535.
M.I. Friswell, J.E.T. Penny and S.D. Garvey. The application of the IRS and balanced realization methods to obtain reduced models of structures with local non-linearities, J. Sound Vib., 196, No. 4 (1996), 453{468.
D.J. Inman, Engineering Vibration", Prentice-Hall, 1996.
G. Luo and J. Xie, Bifurcations and chaos in a system with impacts, Physica D, 148 (2001), 183{200.
A.J. Newman, Model reduction via the Karhunen-Loeve expansion part I: an exposition", Technical Report 96-32, Institute for Systems Research, 1996.
A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes", McGraw-Hill, 1991.
F. Riesz and B. Sz.-Nagy, Functional Analysis", Frederick Ungar, 1955.
L. Sirovich, Turbulence and the dynamics of coherent structures part I: coher- ent strucutures, Quart. Appl. Math., 45, No. 3 (1987), 561{571.
C. Wolter, Uma Introdução µa Redução de Modelos Através da Expansão de Karhunen-Loµeve", Master's thesis, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, 2001.
C. Wolter, M.A. Trindade and R. Sampaio, Obtaining mode shapes through the Karhunen-Loµeve expansion for distributed-parameter linear systems, in Proceedings of the 16th Brazilian Congress of Mechanical Engineering: Vibration and Acoustics" (A. Silveira Neto, S.A.G. Oliveira, A.R. Machado and C.R. Ribeiro, eds.), Vol. 10, pp. 444{452, ABCM, Uberl^andia, Brasil, 2001.
Downloads
Publicado
Como Citar
Edição
Seção
Licença
Política para Periódicos de Acesso Livre
Autores que publicam nesta revista concordam com os seguintes termos:
- Autores mantém os direitos autorais e concedem à revista o direito de primeira publicação, com o trabalho simultaneamente licenciado sob a Licença Creative Commons Attribution que permite o compartilhamento do trabalho com reconhecimento da autoria e publicação inicial nesta revista.
- Autores têm autorização para assumir contratos adicionais separadamente, para distribuição não-exclusiva da versão do trabalho publicada nesta revista (ex.: publicar em repositório institucional ou como capítulo de livro), com reconhecimento de autoria e publicação inicial nesta revista.
- Autores têm permissão e são estimulados a publicar e distribuir seu trabalho online (ex.: em repositórios institucionais ou na sua página pessoal) a qualquer ponto antes ou durante o processo editorial, já que isso pode gerar alterações produtivas, bem como aumentar o impacto e a citação do trabalho publicado (Veja O Efeito do Acesso Livre).
- Esta é uma revista de acesso aberto, o que significa que todo o conteúdo é livremente disponível gratuitamente para o usuário ou sua instituição. Os usuários estão autorizados a ler, baixar, copiar, distribuir, imprimir, pesquisar ou vincular os textos completos dos artigos, ou usá-los para qualquer outro propósito legal, sem pedir permissão prévia do editor ou do autor. Isso está de acordo com a definição de acesso aberto do BOAI.
Todo o conteúdo do periódico está licenciado sob uma Licença Creative Commons do tipo atribuição BY.