Solução Exata e Estabilização Exponencial para a Equação de Allen-Cahn

Autores

  • D. S. Almeida Júnior Universidade Federal do Pará/Campus Universitário do Guamá (Belém)
  • A. J. A. Ramos Universidade Federal do Pará/Campus Universitário de Salinópolis.
  • L. M. Ribeiro Universidade Federal do Pará / Campus Universitário de Salinópolis
  • E. D. P. Teixeira

DOI:

https://doi.org/10.5540/tcam.2021.022.04.00559

Palavras-chave:

Equação de difusão, Equação de Allen-Cahn, Solução exata, Estabilização exponencial.

Resumo

Neste trabalho estudamos algumas propriedades qualitativas da equação de Allen-Cahn. Esta equação tem sido amplamente estudada em diversas áreas da ciência e principalmente na evolução de microestruturas durante o processo de solidicação de um metal puro ou liga metálica. Os principais resultados obtidos neste trabalho são a solução exata, a energia de Ginzburg-Landau e a propriedade de decaimento exponencial do sistema. A solução analítica do problema foi obtida pelo método da separação de variáveis graças a uma escolha adequada do coeciente de reação. Com isto, passamos a considerar dois problemas, um problema de valor inicial e o outro de valor de contorno, em que ambos foram resolvidos. Em relação a estabilização exponencial da energia total de solução, usamos técnicas multiplicativas para estabelecer a lei de dissipação da energia e, em seguida, algumas desigualdades para construir a estimativa de decaimento exponencial.

Biografia do Autor

D. S. Almeida Júnior, Universidade Federal do Pará/Campus Universitário do Guamá (Belém)

Sou natural de Altamira, região Oeste do Estado do Pará. Sou Licenciado Pleno em Matemática pela Universidade Federal do Pará (Primeira turma do Projeto de Interiorização no Campus Avançado de Altamira. 1992-1996), Mestre em Matemática Aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp - 2002) e Doutor em Ciências em Modelagem Computacional pelo Laboratório Nacional de Computação Científica (LNCC - 2009). Sou Professor Associado I do Instituto de Ciências Exatas e Naturais da Universidade Federal do Pará e desde 2010 componho o quadro docente permanente do Programa de Doutorado em Matemática em Associação Ampla UFPA/UFAM. Também exerci atividades de ensino e pesquisa no Programa de Pós-graduação em Matemática e Estatística (PPGME/UFPA) no período de 2009 a 2018 com 11 dissertações orientadas. Em particular, possuo formação acadêmica nas áreas de análise matemática, análise numérica, modelagem matemática e computacional numérica com ênfase nas propriedades assintóticas de semi-grupos com aplicações, sistemas hiperbólicos dissipativos, análise numérica de métodos numéricos em diferenças finitas e elementos finitos aplicados às equações diferenciais parciais de evolução. Tenho grande motivação e interesse na análise numérica de esquemas numéricos que representam uniformemente as propriedades qualitativas de equações diferenciais parciais. Ocupei uma posição de Professor Visitante Residente no País no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) no período de 08/2014 à 01/2016. Na área administrativa, fui Coordenador do PROFMAT por seis meses no ano de 2014, Vice-Coordenador do Programa de Doutorado em Matemática em Associação Ampla (UFPA/UFAM) em todo o ano de 2016 e Coordenador do mesmo Programa de Doutorado no biênio 2017-2018.

A. J. A. Ramos, Universidade Federal do Pará/Campus Universitário de Salinópolis.

Nasceu em Capanema, região nordeste do estado do Pará. Possui Graduação (2008), Mestrado (2011) e Doutorado (2015) em Matemática pela Universidade Federal do Pará. Realizou Pós-Doutorado na UFPA e atualmente é professor Adjunto I da Universidade Federal do Pará. Faz parte do quadro permanente de docentes do Programa de Doutorado em Matemática em Associação Ampla UFPA/UFAM onde atua nas áreas de análise matemática, análise numérica, modelagem computacional e matemática aplicada com ênfase nos seguintes temas: Propriedades assintóticas de semigrupos com aplicações, sistemas hiperbólicos dissipativos e análise numérica em métodos de diferenças finitas e elementos finitos aplicados às equações diferenciais parciais de evolução.

L. M. Ribeiro, Universidade Federal do Pará / Campus Universitário de Salinópolis

Nasceu em Maracanã, região Nordeste do Estado do Pará. Possui graduação em Licenciatura Plena em Matemática (1996), especialização em Matemática (1998), mestrado em Matemática (2005) e doutorado em Matemática (2015) pela Universidade Federal do Pará. Foi professor Adjunto A1 na Universidade Federal Rural da Amazônia (06/2016 a 05/2018). Atualmente é professor Adjunto A1 na Universidade Federal do Pará. Tem formação acadêmica na área de análise matemática com ênfase nas equações diferenciais parciais do tipo hiperbólicas, parabólicas e aplicações com esquemas numéricos em diferenças finitas.

Referências

R. KOBAYASHI, "Modeling and numerical simulations of dendritic crystal growth", Physica D, vol. 63, no. 3-4, pp. 410-423, 1993.

S. ALLEN and J. CAHN, "A microscopic theory for antiphase boundary motion and its apllication to antiphase domain coaserning", Acta Metall, vol. 27,pp. 1084-1095, 1979.

A. KARMA and W. RAPPEL, "Quantitative phase-eld modeling of dendritic growth in two and three dimensions", Physical Review E Physics, vol. 57,pp. 4323-4349, 1998.

X. CHEN, "Generation, propagation, and annihilation of metastable patterns", Journal of Differential Equations, vol. 206, pp. 399-437, 2004.

M. UZUNCA and B. KARASOZEN, "Energy stable model order reduction for the allen-cahn equation", in Model Reduction of Parametrized Systems, pp. 403-419, Springer, 2017.

L. C. EVANS, Partial differential equations, vol. 83. Wiley, 1999.

E. P. Zemskov and A. Loskutov, "Exact analytical solutions for nonlinear waves in the inhomogeneous Fsher-kolmogorov equation", The European Physical Journal B, vol. 79, pp. 79-84, dec 2010.

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Publicado

2021-10-26

Como Citar

Almeida Júnior, D. S., Ramos, A. J. A., Ribeiro, L. M., & Teixeira, E. D. P. (2021). Solução Exata e Estabilização Exponencial para a Equação de Allen-Cahn. Trends in Computational and Applied Mathematics, 22(4), 559–573. https://doi.org/10.5540/tcam.2021.022.04.00559

Edição

v. 22 n. 4 (2021)

Seção

Artigo Original

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